آشنایی با الگوهای مثلثی

ریاضیات هم به منطق و هم خلاقیت متکی است و هم برای اهداف عملی و هم برای علاقه ذاتی آن دنبال می شود. برای برخی از افراد و نه تنها ریاضیدانان حرفه ای ، جوهر ریاضیات در زیبایی و چالش فکری آن نهفته است. برای دیگران ، از جمله بسیاری از دانشمندان و مهندسان ، ارزش اصلی ریاضیات این است که چگونه در مورد کار خودشان اعمال می شود. از آنجا که ریاضیات چنین نقش اساسی در فرهنگ مدرن ایفا می کند ، برخی از درک اساسی از ماهیت ریاضیات برای سواد علمی ضروری است. برای دستیابی به این هدف ، دانش آموزان باید ریاضیات را به عنوان بخشی از تلاش علمی درک کنند ، ماهیت تفکر ریاضی را درک کنند و با ایده ها و مهارت های کلیدی ریاضی آشنا شوند.

این فصل به ریاضیات به عنوان بخشی از تلاش علمی و سپس ریاضیات به عنوان یک فرآیند یا روش تفکر می پردازد. توصیه های مربوط به ایده های ریاضی در فصل 9 ، دنیای ریاضی و مواردی که در مهارت های ریاضی است در فصل 12 ، عادات ذهن ارائه شده است.

atterns و r leations

ریاضیات علم الگوهای و روابط است. به عنوان یک رشته نظری ، ریاضیات روابط احتمالی بین انتزاع را بدون نگرانی از اینکه آیا این انتزاع ها در دنیای واقعی همتایان دارند ، بررسی می کند. انتزاع می تواند از رشته های اعداد گرفته تا ارقام هندسی گرفته تا مجموعه معادلات باشد. در پرداختن به ، مثلاً "آیا فاصله بین اعداد نخست الگویی را تشکیل می دهد؟"به عنوان یک سؤال نظری ، ریاضیدانان فقط به یافتن الگوی یا اثبات اینکه هیچ کدام وجود ندارد ، علاقه مند هستند ، اما در آنچه ممکن است چنین دانش باشد وجود ندارد. به عنوان مثال ، به عنوان مثال ، بیان برای تغییر در سطح هر جامد منظم با نزدیک شدن حجم آن صفر ، ریاضیدانان هیچ علاقه ای به مکاتبات بین مواد جامد هندسی و اشیاء فیزیکی در دنیای واقعی ندارند.

یک خط اصلی تحقیق در ریاضیات نظری ، شناسایی در هر زمینه مطالعه مجموعه کوچکی از ایده ها و قوانین اساسی است که از آن می توان همه ایده ها و قوانین جالب دیگر را در آن زمینه به طور منطقی استنباط کرد. ریاضیدانان ، مانند سایر دانشمندان ، به ویژه هنگامی که بخش های غیر مرتبط با ریاضیات از یکدیگر مشتق می شوند ، یا از برخی تئوری های کلی تر ، به ویژه خوشحال می شوند. بخشی از حس زیبایی که بسیاری از افراد در ریاضیات درک کرده اند نه در یافتن بزرگترین پیچیده بودن یا پیچیدگی بلکه برعکس ، در یافتن بزرگترین اقتصاد و سادگی نمایندگی و اثبات است. با پیشرفت ریاضیات ، روابط بیشتر و بیشتری بین بخش هایی از آن که به طور جداگانه توسعه یافته اند ، بین بازنمایی های نمادین جبر و نمایش های مکانی هندسه یافت شده است. این ارتباطات متقاطع باعث می شود بینش ها به قسمت های مختلف توسعه یابد. آنها با هم ، اعتقاد به صحت و وحدت اساسی کل ساختار را تقویت می کنند.

ریاضیات نیز یک علم کاربردی است. بسیاری از ریاضیدانان توجه خود را بر حل مسائلی متمرکز می کنند که از دنیای تجربه سرچشمه می گیرند. آنها نیز به جستجوی الگوها و روابط می‌پردازند و در این فرآیند از تکنیک‌هایی استفاده می‌کنند که مشابه آن‌هایی است که در انجام ریاضیات صرفا نظری استفاده می‌شود. تفاوت تا حد زیادی در نیت است. برخلاف ریاضیدانان نظری، ریاضیدانان کاربردی، در مثال‌های بالا، ممکن است الگوی بازه‌ای اعداد اول را برای ایجاد یک سیستم جدید برای کدگذاری اطلاعات عددی، به جای یک مسئله انتزاعی، مطالعه کنند. یا ممکن است مشکل ناحیه/حجم را به عنوان گامی در تولید مدلی برای مطالعه رفتار کریستال بررسی کنند.

نتایج ریاضیات نظری و کاربردی اغلب بر یکدیگر تأثیر می گذارند. اکتشافات ریاضیدانان نظری اغلب گاهی اوقات چندین دهه بعد ارزش عملی پیش بینی نشده ای دارند. به عنوان مثال، مطالعات روی خواص ریاضی رویدادهای تصادفی منجر به دانشی شد که بعداً امکان بهبود طراحی آزمایش‌ها در علوم اجتماعی و طبیعی را فراهم کرد. برعکس، ریاضیدانان در تلاش برای حل مشکل صورت‌حساب عادلانه کاربران تلفن از راه دور، اکتشافات اساسی در مورد ریاضیات شبکه‌های پیچیده انجام دادند. ریاضیات نظری، بر خلاف سایر علوم، محدود به دنیای واقعی نیست، اما در دراز مدت به درک بهتر آن جهان کمک می کند.

ریاضیات، علوم و فن‌شناسی

ریاضیات به دلیل انتزاعی بودنش جهانی است به گونه ای که سایر حوزه های اندیشه بشری چنین نیستند. کاربردهای مفیدی در تجارت، صنعت، موسیقی، تحصیلات تاریخی، سیاست، ورزش، پزشکی، کشاورزی، مهندسی و علوم اجتماعی و طبیعی پیدا می کند. رابطه بین ریاضیات و سایر رشته های علوم پایه و کاربردی به ویژه قوی است. این امر به دلایل مختلفی از جمله موارد زیر است:

• اتحاد علم و ریاضیات سابقه ای طولانی دارد و به قرن ها قبل باز می گردد. علم ریاضیات را با مسائل جالبی برای بررسی فراهم می کند و ریاضیات ابزارهای قدرتمندی را برای استفاده در تجزیه و تحلیل داده ها در اختیار علم قرار می دهد. اغلب، الگوهای انتزاعی که به خاطر خودشان توسط ریاضیدانان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، بعداً در علم بسیار مفید بوده‌اند. علم و ریاضیات هر دو در تلاش برای کشف الگوها و روابط عمومی هستند و از این نظر بخشی از یک تلاش هستند.

• ریاضیات زبان اصلی علم است. زبان نمادین ریاضیات برای بیان ایده های علمی بدون ابهام بسیار ارزشمند است. این جمله که a = F/m صرفاً روش کوتاهی نیست که بگوییم شتاب یک جسم به نیروی وارد شده به آن و جرم آن بستگی دارد. بلکه بیانی دقیق از رابطه کمی بین آن متغیرها است. مهمتر از آن، ریاضیات دستور زبان علم را فراهم می‌کند، قوانینی را برای تجزیه و تحلیل دقیق ایده‌ها و داده‌های علمی.

• ریاضیات و علوم دارای ویژگی های مشترک زیادی هستند. اینها عبارتند از اعتقاد به نظم قابل درک. تداخل تخیل و منطق دقیق؛آرمان های صداقت و صراحت؛اهمیت انتقادی همتایان؛ارزشی که برای اولین کسی که یک کشف کلیدی انجام می دهد، قرار می گیرد. بین المللی بودن در حوزهو حتی با توسعه رایانه های الکترونیکی قدرتمند، قادر به استفاده از فناوری برای باز کردن زمینه های جدید تحقیقاتی هستند.

• ریاضیات و فناوری نیز رابطه ثمربخشی با یکدیگر ایجاد کرده اند. برای مثال، ریاضیات اتصالات و زنجیره های منطقی، کمک زیادی به طراحی سخت افزار کامپیوتر و تکنیک های برنامه نویسی کرده است. ریاضیات همچنین به طور کلی به مهندسی کمک می کند، مانند توصیف سیستم های پیچیده که رفتار آنها می تواند توسط کامپیوتر شبیه سازی شود. در این شبیه‌سازی‌ها، ویژگی‌های طراحی و شرایط عملیاتی می‌تواند به عنوان ابزاری برای یافتن طرح‌های بهینه تغییر کند. به نوبه خود، فن‌آوری رایانه، حوزه‌های کاملاً جدیدی را در ریاضیات، حتی در ماهیت اثبات، باز کرده است، و همچنین همچنان به حل مسائل دلهره‌آور قبلی کمک می‌کند.

M ATHEMATICAL I NQUIRY

استفاده از ریاضیات برای بیان ایده ها یا حل مسائل شامل حداقل سه مرحله است: (1) نمایش برخی از جنبه های چیزها به صورت انتزاعی، (2) دستکاری انتزاعات توسط قواعد منطق برای یافتن روابط جدید بین آنها، و (3) دیدن اینکه آیا موارد جدیدروابط در مورد چیزهای اصلی چیز مفیدی می گویند.

انتزاع و بازنمایی نمادین

تفکر ریاضی اغلب با فرآیند انتزاع آغاز می شود، یعنی مشاهده شباهت بین دو یا چند شی یا رویداد. جنبه های مشترک آنها، اعم از عینی یا فرضی، را می توان با نمادهایی مانند اعداد، حروف، سایر علائم، نمودارها، ساختارهای هندسی یا حتی کلمات نشان داد. اعداد کامل انتزاعی هستند که اندازه مجموعه چیزها و رویدادها یا ترتیب چیزها را در یک مجموعه نشان می دهند. دایره به عنوان یک مفهوم، انتزاعی است که از چهره‌های انسان، گل‌ها، چرخ‌ها یا امواج پراکنده گرفته شده است. حرف A ممکن است انتزاعی برای مساحت سطح اجسام با هر شکل، برای شتاب تمام اجسام متحرک، یا برای همه اشیایی که دارای خاصیت مشخصی هستند باشد. نماد + یک فرآیند جمع را نشان می دهد، خواه سیب یا پرتقال، ساعت یا مایل در ساعت اضافه شود. و انتزاعات نه تنها از اشیاء یا فرآیندهای عینی ساخته می شوند. آنها همچنین می توانند از انتزاعات دیگر، مانند انواع اعداد (مثلاً اعداد زوج) ساخته شوند.

چنین انتزاعی، ریاضیدانان را قادر می سازد تا بر برخی از ویژگی های چیزها تمرکز کنند و آنها را از نیاز به در نظر داشتن دائمی ویژگی های دیگر رها می کند. تا آنجا که به ریاضیات مربوط می شود، فرقی نمی کند که مثلث مساحت سطح بادبان را نشان دهد یا همگرایی دو خط دید روی یک ستاره. ریاضیدانان می توانند با هر یک از این دو مفهوم به یک شکل کار کنند. صرفه جویی حاصل از تلاش بسیار مفید است؛ مشروط بر اینکه در ساختن یک انتزاع، دقت شود که ویژگی هایی که نقش مهمی در تعیین نتیجه رویدادهای مورد مطالعه دارند نادیده گرفته نشود.

دستکاری بیانیه های ریاضی

پس از انجام انتزاعات و انتخاب بازنمایی نمادین از آنها، می توان آن نمادها را به روش های مختلف با توجه به قوانین دقیقاً تعریف شده ترکیب و دوباره ترکیب کرد. گاهی اوقات این کار با یک هدف ثابت انجام می شود. در مواقع دیگر در چارچوب آزمایش یا بازی انجام می شود تا ببینیم چه اتفاقی می افتد. گاهی اوقات از معنای شهودی کلمات و نمادهای سازنده به راحتی می توان دستکاری مناسب را تشخیص داد. در مواقع دیگر یک سری دستکاری مفید باید با آزمون و خطا انجام شود.

به طور معمول، رشته‌های نمادها در عباراتی ترکیب می‌شوند که ایده‌ها یا گزاره‌ها را بیان می‌کنند. به عنوان مثال، نماد A برای مساحت هر مربع ممکن است با نماد s برای طول ضلع مربع برای تشکیل گزاره A = s 2 استفاده شود. این معادله مشخص می‌کند که مساحت چگونه به ضلع مربوط می‌شود و همچنین نشان می‌دهد که به هیچ چیز دیگری بستگی ندارد. سپس می توان از قواعد جبر معمولی برای کشف این موضوع استفاده کرد که اگر طول اضلاع یک مربع دو برابر شود، مساحت مربع چهار برابر بزرگتر می شود. به طور کلی تر، این دانش این امکان را فراهم می کند که بفهمیم چه اتفاقی برای مساحت یک مربع می افتد بدون توجه به اینکه طول اضلاع آن چقدر تغییر می کند، و بالعکس، چگونه هر تغییر در مساحت بر اضلاع تأثیر می گذارد.

بینش های ریاضی در مورد روابط انتزاعی طی هزاران سال رشد کرده است، و هنوز هم در حال گسترش و گاهی تجدید نظر هستند. اگرچه آنها در تجربه عینی شمارش و اندازه‌گیری شروع کردند، اما از لایه‌های انتزاعی زیادی عبور کرده‌اند و اکنون بسیار بیشتر به منطق درونی بستگی دارند تا نمایش مکانیکی. بنابراین، به یک معنا، دستکاری انتزاعات بسیار شبیه یک بازی است: با برخی از قوانین اساسی شروع کنید، سپس هر حرکتی را انجام دهید که با آن قواعد مطابقت داشته باشد - که شامل ابداع قوانین اضافی و یافتن ارتباطات جدید بین قوانین قدیمی است. آزمون اعتبار ایده های جدید این است که آیا آنها سازگار هستند و آیا آنها به طور منطقی با قوانین دیگر مرتبط هستند یا خیر.

کاربرد

فرآیندهای ریاضی می توانند به نوعی مدل از یک چیز منتهی شوند که از آن می توان بینشی در مورد خود آن چیز به دست آورد. هر رابطه ریاضی که با دستکاری عبارات انتزاعی به دست می‌آید ممکن است چیزی درست را در مورد چیزی که مدل‌سازی می‌شود بیان کند یا ندهد. به عنوان مثال، اگر 2 فنجان آب به 3 فنجان آب اضافه شود و برای محاسبه کل از عملیات ریاضی انتزاعی 2+3 = 5 استفاده شود، پاسخ صحیح 5 فنجان آب است. با این حال، اگر 2 فنجان شکر به 3 فنجان چای داغ اضافه شود و از همان عملیات استفاده شود، 5 پاسخ نادرست است، زیرا چنین افزودنی در واقع فقط کمی بیشتر از 4 فنجان چای بسیار شیرین را به همراه دارد. افزودن ساده حجم ها برای موقعیت اول مناسب است، اما نه برای مورد دوم. چیزی که فقط با دانستن چیزی از تفاوت های فیزیکی در این دو موقعیت قابل پیش بینی بود. بنابراین، برای اینکه بتوانیم ریاضیات را به خوبی استفاده و تفسیر کنیم، لازم است به چیزی بیش از اعتبار ریاضی عملیات انتزاعی توجه کنیم و همچنین در نظر بگیریم که آنها چقدر با ویژگی های چیزهای نمایش داده شده مطابقت دارند.

گاهی اوقات عقل سلیم کافی است تا فرد بتواند تصمیم بگیرد که آیا نتایج ریاضیات مناسب هستند یا خیر. به عنوان مثال، برای تخمین قد 20 سال آینده دختری که قدش 5 دقیقه و 5 اینچ است و با سرعت یک اینچ در سال رشد می کند، عقل سلیم پیشنهاد می کند که پاسخ ساده "نرخ ضربدر زمان" 7' 1 را رد کنید. بسیار بعید است، و در عوض به مدل ریاضی دیگری روی می آوریم، مانند منحنی هایی که به مقادیر محدود نزدیک می شوند. با این حال، گاهی اوقات ممکن است دانستن اینکه نتایج ریاضی چقدر مناسب هستند، برای مثال، هنگام تلاش برای پیش‌بینی قیمت‌های بازار سهام یا زلزله، ممکن است دشوار باشد.

غالباً یک دور از استدلال ریاضی نتیجه گیری های رضایت بخش را به وجود نمی آورد ، و تغییراتی در نحوه ساخت یا خود در خود عملیات انجام می شود. در واقع ، پرش ها معمولاً بین مراحل به عقب و جلو انجام می شوند ، و هیچ قانونی وجود ندارد که نحوه پیشبرد آن را تعیین کند. این روند به طور معمول متناسب و شروع می شود ، با بسیاری از چرخش های اشتباه و بن بست. این روند تا زمانی که نتایج به اندازه کافی خوب نباشد ادامه می یابد.

اما چه درجه ای از دقت به اندازه کافی خوب است؟پاسخ بستگی به نحوه استفاده از نتیجه ، پیامدهای خطا و هزینه احتمالی مدل سازی و محاسبه پاسخ دقیق تر دارد. به عنوان مثال ، خطای 1 درصد در محاسبه میزان قند در دستور العمل کیک می تواند بی اهمیت باشد ، در حالی که یک درجه خطای مشابه در محاسبه مسیر برای یک کاوشگر فضایی می تواند فاجعه بار باشد. با این حال ، اهمیت سؤال "به اندازه کافی خوب" منجر به توسعه فرآیندهای ریاضی برای تخمین نتایج خارج شده و چقدر محاسبات برای به دست آوردن درجه دقت مورد نیاز است.

کپی رایت © 1989 ، 1990 توسط انجمن آمریکایی برای پیشرفت علوم